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蒙特卡罗模拟方法概述

浏览量：3121 作者：发布于：2023-07-21 文字：【大】【中】【小】

蒙特卡罗方法 Monte Carlo methods，或蒙特卡罗实验 Monte Carlo experiments，是一大类计算算法的集合，依靠重复的随机抽样来获得数值结果。基本概念是利用随机性来解决理论上可能是确定性的问题。这类方法通常用于解决物理和数学问题，当面对棘手问题而束手无策时，往往它们可以大显身手。蒙特卡罗方法主要用于解决3类问题：最优化，数值积分，依据概率分布生成图像。
在物理学相关问题中，蒙特卡罗方法可用于模拟具有多个耦合自由度的系统，如流体、无序材料、强耦合固体和细胞结构（参见细胞波茨模型 Cellular Potts Model、相互作用粒子系统 Interacting Particle Systems、麦肯-弗拉索夫过程 McKean-Vlasov Processes、气体动力学模型 Kinetic Models of Gases）。
其它例子包括：对输入中具有重大不确定性的现象进行建模，如商业中的风险计算，以及在数学中对具有复杂边界条件的多维定积分进行评估。在系统工程问题（空间、石油勘探、飞机设计等）的应用中，基于蒙特卡罗的故障预测、成本超支和进度超支通常比人类的直觉或其它的“软性”方法更有效。
蒙特卡罗模拟能够帮助人们从数学上表述物理、化学、工程、经济学以及环境动力学中一些非常复杂的相互作用。数学家们称这种表述为“模式”，而当一种模式足够精确时，他能产生与实际操作中对同一条件相同的反应。但蒙特卡罗模拟有一个危险的缺陷：如果必须输入一个模式中的随机数并不像设想的那样是随机数，而却构成一些微妙的非随机模式，那么整个的模拟（及其预测结果）都可能是错的。
传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。这也是以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。
当科学家们使用计算机来试图预测复杂的趋势和事件时, 他们通常应用一类需要长串的随机数的复杂计算。设计这种用来预测复杂趋势和事件的数字模型越来越依赖于一种称为蒙特卡罗模拟的统计手段, 而这种模拟进一步又要取决于可靠的无穷尽的随机数目来源。
基本原理思想
当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。
解题步骤
构造或描述概率过程
对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。
实现从已知概率分布抽样
构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。
建立各种估计量
一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。
方法应用
通常蒙特卡罗模拟通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题。对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡罗模拟是一种有效的求出数值解的方法。一般蒙特卡罗模拟在数学中最常见的应用就是蒙特卡罗积分。蒙特卡罗算法表示采样越多，越近似最优解。举个例子，假如筐里有100个苹果，让我每次闭眼拿1个，挑出最大的。于是我随机拿1个，再随机拿1个跟它比，留下大的，再随机拿1个……我每拿一次，留下的苹果都至少不比上次的小。拿的次数越多，挑出的苹果就越大，但我除非拿100次，否则无法肯定挑出了最大的。这个挑苹果的算法，就属于蒙特卡罗算法。告诉我们样本容量足够大，则最接近所要求解的概率。
蒙特卡罗模拟在金融工程学，宏观经济学，生物医学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域也应用广泛。计算机技术的发展，使得蒙特卡罗模拟在最近10年得到快速的普及。现代的蒙特卡罗模拟，已经不必亲自动手做实验，而是借助计算机的高速运转能力，使得原本费时费力的实验过程，变成了快速和轻而易举的事情。它不但用于解决许多复杂的科学方面的问题，也被项目管理人员经常使用。
借助计算机技术，蒙特卡罗模拟实现了两大优点：简单和快速，省却了繁复的数学报导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握，也是蒙特卡罗方法在现代项目管理中获得应用的技术基础。
理论上，蒙特卡罗方法可以用来解决任何具有概率解释的问题。根据大数定律 Law of Large Numbers，用某个随机变量的期望值描述的积分可以用该变量独立样本的经验均值（即样本均值）来近似。当变量的概率分布被参数化时，数学家们经常使用马尔可夫链蒙特卡罗 Markov chain Monte Carlo(MCMC)采样器。其中心思想是设计一个具有给定稳态概率分布 Stationary Probability Distribution的有效马尔可夫链模型。也就是说，在极限情况下，马尔科夫链蒙特卡洛方法生成的样本将成为来自期望（目标）分布的样本。通过遍历定理 Ergodic Theorem，稳态分布可以用马尔科夫链蒙特卡洛采样器随机状态的经验测度来近似。
在其它问题中，要实现的目标则是从满足非线性演化方程的概率分布序列中生成图像。这些概率分布流总是可以解释为马尔可夫过程 Markov process的随机状态的分布，其转移概率依赖于当前随机状态的分布（见麦肯-弗拉索夫过程，非线性滤波方程 Nonlinear Filtering Equation）。其他情况下，我们给出了采样复杂度不断增加的概率分布流（如时间范围不断增加的路径空间模型，与温度参数降低有联系的玻尔兹曼—吉布斯测度 Boltzmann-Gibbs Measures，以及许多其他例子）。这些模型也可以看作是一个非线性马尔可夫链的随机状态规律的演化。模拟这些复杂非线性马尔可夫过程的一个自然的方法是对过程的多个副本进行抽样，用抽样的经验测度替代演化方程中未知的随机状态分布。与传统的蒙特卡罗和马尔科夫链蒙特卡洛方法相比，这些平均场粒子 Mean Field Particle技术依赖于连续相互作用的样本。平均场一词反映了每个样本（也就是粒子、个体、步行者、媒介、生物或表现型）与过程的经验测量相互作用的事实。当系统大小趋近于无穷时，这些随机经验测度收敛于非线性马尔可夫链随机状态的确定性分布，从而使粒子之间的统计相互作用消失。
尽管其概念和算法简单，但与蒙特卡罗模拟相关的计算成本却很高，一般情况下，该方法需要大量的样本来获得良好的近似，如果单个样本的处理时间较长，可能会导致总运行时间长度难以控制。
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